【JZOJ4937】与运算 题解

题目大意

  对于一个序列 $a_1,\cdots,a_n$，定义 $f_i$ 表示序列前 $i$ 项依次进行按位与运算后的值。一个序列的价值为 $\sum_{i=1}^n f_i$。
  现在给你一个序列 $a_1,\cdots,a_n$，你需要把它重新排列，使得序列价值尽量大。
  $n, a_i \le 10^6$

解法

  一个序列的 $f$ 值一定是成段的，可以根据这个进行 dp。设 $g[i]$ 表示当前 $f$ 值为 $i$ 的时候的最大答案。那么转移就是枚举一个 $j$，然后 $g[i]=max(g[j]+i*(cnt[i]-cnt[j]))$，其中 $cnt[x]$ 表示有多少个 $a[i]$ 包含了 $x$ 这个状态。

  所以现在其实就是要求 $cnt$，可以用分治来求。（UPD：若干年过去了，现在知道这东西叫高维前缀和）

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;

typedef long long LL;

const int maxn=1e6+5, MX=25, maxN=2e6+5;

int n,N,a[maxn],er[MX];

LL f[maxN]; //这里的f就是上述的cnt
void dfs_f(int l,int r)
{
	if (l==r) return;
	
	int mid=(l+r)>>1;
	dfs_f(l,mid), dfs_f(mid+1,r);
	
	int enc=mid+1-l;
	fo(i,l,mid) f[i]+=f[i+enc];
}

LL g[maxN];
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	N=(1<<20)-1;
	fo(i,1,20) er[i]=1<<(i-1);
	fo(i,1,n) scanf("%d",&a[i]);
	
	fo(i,1,n) f[a[i]]++;
	dfs_f(0,N);
	
	fd(i,N-1,0)
		fo(j0,1,20) if ((i&er[j0])==0)
		{
			int j=i|er[j0];
			g[i]=max(g[i],g[j]+i*(f[i]-f[j]));
		}
	
	printf("%lld\n",g[0]);
}