【hdu5382】GCD?LCM! 题解

题目大意

  令 $f(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n~[~gcd(i,j)+lcm(i,j)≥n~]$，求 $S(n)=\sum_{i=1}^nf(i)$。
  多组询问，$T \le 10^5，n \le 10^6$。

第一反应

  拿到式子大多数同学开始反演了。。。
  $T$ 这么大，还得能预处理。。。

  直接刚反演的话，我反正是刚不出来，题解也不是这么做的。

题解

  考虑递推！！
  看 $f(n-1)$ 如何推到 $f(n)$。我们发现，就是少了 $i=n$ 或 $j=n$ 的情况，然后多了 $gcd+lcm=n-1$ 的情况。当 $i=n$ 或 $j=n$ 时，$lcm(i,j)≥n$，所以一定可以。因此递推式就是：

$$f(n)=f(n-1)+2n-1-\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=1}^{n-1}~[~\gcd(i,j)+lcm(i,j)=n-1~]$$

  后面那部分就可以反演了。

$$\begin{array}{rcl} g(n)&=&\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n~[~gcd(i,j)+lcm(i,j)=n~]\\ &=&\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}~[~gcd(i,j)=1~]~[~d+ijd=n~]\\ &=&\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor-1}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor-1}~[~gcd(i,j)=1~]~[~ij=\lfloor\frac{n}{d}\rfloor-1~]\\ &=&\sum_{d|n}h(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor-1)\\ h(m)&=&\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m~[~gcd(i,j)=1~]~[~ij=m~]\\ &=&2^{\lambda(m)} \end{array}$$

  其中 $\lambda(m)$ 表示 $m$ 的质因数种类数，即 $m=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_{\lambda(m)}^{c_{\lambda(m)}}$

  到这一步，全部都可以预处理了。